La història dels càlculs que s’han fet per a determinar el valor del nombre Π és força interessant. Com és sabut, el nombre Π no solament és irracional (és a dir no es pot expressar com a quocient de dos nombres enters, demostrat per Lambert el 1761) sinó que, a més, és transcendental (és a dir tampoc es pot expressar com arrel d’una equació, demostrat per Lindemann el 1882).
Això ha fet que al llarg de la història, molts matemàtics hagin esmerçat esforços per a determinar el valor més acurat possible d’aquest nombre que defineix una relació essencial: la del cercle amb el seu diàmetre. No entraré en els detalls de les aproximacions i els càlculs que s’han fet fins ara perquè no vull avorrir el personal.
Però no puc deixar de rendir homenatge a unes quantes fites importants en aquest viatge intel·lectual. Abans de Leibniz (segle XVII) tot el que tenim són aproximacions, no càlculs en el sentit matemàtic estricte. Podríem destacar la del Papyrus Rhind per la seva antiguitat (Egipte, 2000 AC); la d’Arquimedes (Segle III AC) per la seva precisió (Arquimedes només dona un límit superior, 22/7, i un límit inferior, 223/71, i efectivament Π està entre aquests dos nombres!); les de al-Juarizmí (segle IX) i de Viète (Segle XVI) amb 4 i 9 dígits exactes, respectivament.
Leibniz, com deia, és el primer en establir una regla de càlcul general, encara que pot ser que fos descoberta inicialment per James Gregory:
De totes formes, aquesta fórmula no és gaire útil perquè per a aconseguir quatre decimals de precisió es necessiten més de 10.000 termes. Al acabar el segle XVII, Sharp, amb una variant més ràpida d’aquesta fórmula, aconsegueix 71 decimals correctes. No gaires matemàtics van dedicar-se a millorar la precisió del calcul perquè això requeria grans quantitats de temps i, a més, et podies trobar, com li va passar a Shanks (1873), que després d’haver calculat 707 decimals, Fergusson va descobrir que hi havia un error al decimal 527 i que tots els que venien a continuació eren erronis.
Després d’un lamentable episodi nazi-jueu entre Bieberbach i Landau sobre la definició de Π (del que un altre dia en parlaré), comencen a fer-se càlculs amb l’ajuda de computadors, fins el darrer de l’any 1999, en que s’ha obtingut el valor de Π amb una exactitud de més de 206.000 milions de decimals correctes.
L’episodi més divertit d’aquesta història es va produir l’any 1897, quan un metge afeccionat a les matemàtiques, Edward J. Goodwin, va convèncer al senador de l’estat d’Indiana, Taylor I. Record, per a que presentés una proposició de llei, mitjançant la qual s’establís el valor de Π per decret. La proposta establia el valor de Π en 3,23 (i deixem-nos estar d’orgues! que amb dos decimals ja és prou difícil fer sumes i restes). Lo collonut del cas és que la proposició de llei es va tramitar amb tota normalitat i la Comissió d’Educació del Senat d’Indiana la va aprovar per unanimitat (67 vots a favor, cap en contra!!!). I això, que sembla un acudit, no ho és pas. Es tracta de la House Bill No. 246, llegida el 18 de gener de 1897 pel ple del Senat d’Indiana, tramitada a la Comissió i aprovada per aquesta el 5 de febrer de 1897, després d’una segona i tercera lectures. Ja ens agradaria a Espanya que les proposicions de llei es tramitessin tan ràpid!
El Indianapolis Sentinel del dia 20 de gener deia que el Superintendent d’Instrucció Pública de l’Estat creia que Goodwin havia trobat la solució a la quadratura del cercle! Podeu imaginar el desgavell que es va organitzar a la premsa de Chicago i de la Costa Est, tots rient-se dels provincians d’Indiana que, a més, pretenien cobrar royalties per tant estrany descobriment. El Indinapolis Journal, una mica més escèptic, informava, després de l’aprovació per la comissió, de que era la proposició de llei més estranya que s’havia tramitat mai al Senat d’Indiana.
La casualitat va voler que, el mateix dia que la comissió aprovava la proposta per unanimitat, es trobés al Senat el professor de matemàtiques de la Universitat de Purdue (a mig camí entre Indianapolis i Chicago) Clarence A. Waldo, discutint els pressupostos de la seva institució. Al ser interrogat sobre el tema va mostrar la seva total estranyesa, a més de la seva disconformitat, sobre el fet que aquest tema pogués ser objecte de legislació. I, quan li van oferir de conèixer personalment al Dr. Goodwin, va contestar que ja coneixia prou boixos i que no en necessitava conèixer més.
Les respostes dels diaris del Est i del professor Waldo, van fer que l’actitud del ple del Senat fos força diferent. La proposta es va sotmetre al ple el dia 12 de febrer de 1897 i, el dia següent, el Indianapolis News informava així:
El projecte es va sotmetre a consideració i es burlaven d’ell. Els senadors feien jocs de paraules amb el text, el ridiculitzaven i se’n reien. El senador Hubbell va dir que no podia satisfer al Senat, que li costava al Estat 250 dòlars diaris, perdre el temps amb tal frivolitat. També va dir que la lectura dels principals diaris de Chicago i de l’Est, posaven en entredit la Legislatura de l’Estat d’Indiana i ridiculitzaven obertament els seus procediments. Que de la mateixa manera que el Senat pretenia establir la veritat matemàtica, també podria legislar que l’aigua pugés a les muntanyes. Al seu parer, l’examen d’aquesta proposició no era digne del Estat d’Indiana i va proposar que es posposés indefinidament. I així es va acordar.
El diari també informava de que la disbauxa senatorial a costa de la proposta havia durat mitja hora ben bona.
Com sempre, la realitat supera la ficció. Menys mal que hi havia el professor Waldo per allà el mig, sinó potser encara avui en dia parlaríem de la Llei Pi d’Indiana.
P.S. Amics meus em comuniquen que el 20 d’octubre del 2005 el Kanada Laboratory va fer pùblic que havia calculat un bilió dos-cents quaranta-un mil milions de decimals exactes de Π. Sembla que aquest és l’últim record en la matèria.
10 comentaris
Comments feed for this article
Juny 30, 2008 a 4:07 pm
josep p
Hahaha.
Ara ja no ens treus només matemàtics rarets, ara també ens treus situacions freakies.
Aquesta és bona! Els polítics s’entusiasmen amb qualsevol ximpleria.
Juny 30, 2008 a 5:21 pm
Ferran
tu t’imagines la cara que se’ls devia quedar al 67 senadors de la comissió que van votar a favor?
Per cert, avui m’he enterat que s’ha traduit al castellà Descarte’s secret notebook d’Amir Aczel. Ho ha publicat El Viejo Topo!! Jo em pensava que eren gent sèria els de Viejo Topo. Si Manuel Sacristán aixequés el cap!! Ja veus que ningú està lliure de fer burrades.
Juliol 1, 2008 a 10:49 am
anomenatinutil
Els polítics són ben bojos…
Saber tants decimals és curiositat no? No crec que es necessiti tanta precisió en cap camp científic… però vaja, ni idea. Un dia un company em va dir que amb 50 decimals ja espot calcular amb precisió la curvatura de l’univers, però és un concepte que escapa del meu enteniment.
Juliol 1, 2008 a 5:10 pm
Ferran
No és estrictament curiositat.
La proba que es feia als primers computadors per saber la seva potència era precissament aquesta: que calculesin decimals de PI a veure fins a on arribaven. El que en calculava més abans de fer overflow era, obviament, el més potent.
També es pot fer servir per intuir problemes de filosofia de les matemàtiques (de metamatemàtica).
Per exemple: en els anys 20, un matemàtic anomenat Lutzien Brower va començar una demostració dient:
Sigui d el d-ésim digit de l’expansió decimal de PI a on es comença la seqüencia 01234567890 … I aleshores construïa una funció amb d com a variable. Però en aquell moment no se sabien ni tan sols 1000 decimals de PI i aquesta seqüencia no hi aparexia!! Com saber si d existia o no existia?
Brower volia fer notar que, independentment, del que sabem, es poden construir matemàtiques. Tema molt espinós. I que encara es discuteix avui en dia, tot i que, gràcies als cálculs que s’han fet de PI, ara sabem que la seqüencia 01234567890 es dona a l’expansió decimal de PI (que coneixem) 9 vegades, la primera a partir del dígit 53.217.681.704ésim (la d de Brower).
Amb aquests cálculs també es poden respondre preguntes del tipus:
Hi ha algun nombre que apareixi significativament més vegades que els demés?
Hi ha alguna seqüencia que idem?
Això podria obrir nous camps d’investigació. La Teoria de Nombres pot arribar a ser tan rica …
Perdona la pallissa, però sempre em rebel.lo quan em diuen que les matemàtiques són una “curiositat”. Hahahaha
De totes formes, el que dius dels físics és cert. Però ells sempre treballen amb aproximacions! Els matemàtics són d’un altra pasta (diguem que no els interessa gens ni mica la curvatura del univers).
Juliol 1, 2008 a 5:50 pm
josep p
Que passa, escéptic? Que tu tampoc et creus que Descartes va ser inspirat pels Rosacreu?
De descreguts com tu n’està l’infern ple!
Juliol 1, 2008 a 7:03 pm
Ferran
Jo, d’organitzacions secretes, només crec que existeixin la masoneria (varies branques) i el Rotary Club.
Rosacreus, martinistes, priorat de Sió, templers i demés patulea els deixo per a novel.listes de poca volada.
A veure si resultarà que Dan Brown ha demostrat la conjectura de Goldbach!! Amb tanta inspiració trascendental, ho hauria de poder fer.
Juliol 1, 2008 a 7:51 pm
anomenatinutil
Això dels ordinadors encara es fa. Hi ha un programa que ocupa uns pocs Kb anomenat superpi que calcula un nombre concret de decimals. Amb el temps que triga cada ordinador he vist fer competicions per fòrums de modding i overclock.
No havia sentit a parlar de pi en filosofia. Sembla interessant. I no crec pas que les matemàtiques siguin una curiositat, només desconeixia aplicacions de tants decimals.
I si els físics ja arrodoneixen… els que anem per enginyers, a primer se’ns queden els ulls com plats al veure els arrodoniments i les aproximacions que els professors diuen que fem.
Salut!
Juliol 2, 2008 a 6:02 pm
Ferran
No sabia que encara es fesin aquestes competicions d’ordinadors. Amb les poténcies de càlcul actuals seria més productiu dedicar-les a buscar els zeros de la funció Zeta de Riemann. El primer que en trobi un que no tingui de mòdul real 1/2 aconseguirà un milió de dólars de la Clay Foundation.
He dit Filosofia de les Matemàtiques (o Metamatemàtica), que no és exactament Filosofia (és una mena molt especial de fislosofia).
Bé, els enginyers, com tu dius, són també molt especials. Fins fa molt pocs anys anàven amb el regle de càlcul! Ja m’explicaràs quina mena d’arrodoniments feien! No se si encara el fan servir; suposso que no perquè ara, amb els ordinadors, és més ràpid i més exacte.
Juliol 14, 2008 a 9:21 am
La darrera temptativa « Max Aue
[…] ser un problema semblant al de calcular tots els decimals de Π, del que ja havia parlat en un post anterior, però no és així per dues […]
Octubre 21, 2008 a 4:41 pm
La Π de Seattle « Max Aue
[…] deuen tenir alguna mena de complexe amb el nombre Π. Ja vaig comentar fa un temps que el Senat del Estat d’Indiana va tramitar una llei que establia el valor de Π per decret, amb la finalitat de facilitar el […]