El passat dia 1 de juliol, el matemàtic xinés, Xian-Jin Li, va penjar al arXiv (http://arxiv.org) una demostració de la Hipòtesi de Riemann. L’arXiv és un servei de la Biblioteca de la Universitat de Cornell que fan servir molts científics per a penjar els seus treballs, abans de la seva publicació a les revistes prestigioses que pot trigar mesos, degut al estricte procés de revisió que aquestes tenen establert. La publicació prèvia al arXiv serveix per a dues coses:

  1. Dona constància de la data en que es va escriure l’article i evita les discussions, tant habituals entre científics, sobre el descobriment. En el camp de les matemàtiques, és famosa la agre polèmica que van mantenir Newton i Leibnitz sobre qui havia descobert el càlcul diferencial.
  2. Permet que científics que treballen en el mateix camp polemitzin amb l’autor o li assenyalin aspectes poc raonables del seu treball.

La Hipòtesi de Riemann diu el següent: Tots els zeros no trivials de la funció Zeta, tenen modul real ½. Bernard Riemann ho va afirmar en un treball seu de l’any 1859 (aviat complirà 150 anys), però no ho va demostrar perquè només era un comentari dins d’un treball sobre un altre tema. Aquesta demostració ha portat de cap a molts matemàtics des d’aleshores i no entraré en detalls perquè hi ha un llibre de divulgació recent (del que em sembla recordar que ja vaig parlar) de Marcus du Sautoy, La música de los números primos, que segueix de forma amena però rigorosa, l’aventura intel·lectual que han estat totes les temptatives de demostració.

L’any 2003, en un projecte d’informàtica distribuïda, el ZetaGrid, a la vora de dotze milers d’ordinadors de tot el món es van posar a calcular zeros de la funció i el dia 1 de desembre del 2005, després d’haver calculat bilions de zeros, es va donar per tancat el projecte sense haver-ne trobat cap que no tingués de modul real ½. Però això, que per a un físic seria raó suficient, per a un matemàtic no ho és. Encara queden molts zeros per computar (de fet, sabem que n’hi ha infinits) i res no ens pot assegurar que no en trobarem algun que no acompleixi la norma.

Aquest podria ser un problema semblant al de calcular tots els decimals de Π, del que ja havia parlat en un post anterior, però no és així per dues raons:

  1. Els matemàtics no poden deixar de treballar pel fet que un teorema no estigui suficientment demostrat i, actualment, hi han moltes demostracions en Teoria de Nombres que comencen dient: Si la Hipòtesi de Riemann és certa, aleshores … És evident que totes aquestes demostracions no es poden considerar teoremes; només ho son provisionalment, ja que no sabem del cert si la Hipòtesi de Riemann és verdadera. La demostració de la Hipòtesi de Riemann convertiria automàticament totes aquestes demostracions en teoremes.
  2. I un altra més important encara: la Hipòtesi de Riemann permetria conèixer la distribució exacta dels nombres primers al llarg de tota la cadena dels nombres naturals. I això, que sembla un coneixement inútil, no ho és gens. Tots els sistemes de seguretat del nostre estimat Internet es basen en el desconeixement que tenim de la distribució dels nombres primers. Quan ens identifiquem per accedir als detalls de les nostres comptes corrents bancàries o per prorrogar els llibres que tenim en préstec de la biblioteca, sense que nosaltres ho sabem, els ordinadors s’estan intercanviant uns nombres primers de més de 120 xifres cadascun. Si el seu producte és el que espera l’ordinador, ens dona accés, i si no, ens fa fora del sistema.

Imagineu-vos que podria passar si algú aconseguís un algoritme que li proporcionés tots els nombres primers: només li caldria anar provant-los per accedir amb facilitat a qualsevol sistema informàtic protegit amb aquest sistema de claus, que són gairebé tots. No se si seguiu una sèrie que fan a no se quina tele que es diu Numb3rs. A mi m’agrada molt. Es tracta d’un profe de mates de una hipotètica universitat, CalSci, i el seu germà, agent del FBI. El primer ajuda en les investigacions del segon, aplicant models matemàtics a les proves policials. Pels que sigueu una mica mitòmans us diré que el productor executiu de la sèrie és Ridley Scott (el director de Blade Runner). Doncs bé, en un un capítol de la primera temporada, precisament es plantejava aquest problema: un matemàtic, que deia haver demostrat la Hipòtesi de Riemann, era assassinat i la demostració no apareixia per enlloc.

Ja veieu doncs que el tema no és qualsevol cosa.

Què ha passat amb la darrera temptativa dels nostre xinés Xian-Ji Li? Doncs que la quantitat de comentaris i respostes que va rebre al arXiv va ser tan tremenda que els dies següents, 2 i 3 de juliol, va penjar versions modificades de la seva demostració, recollint les crítiques que li havien anat fent altres matemàtics interessats en el tema (que són molts). Finalment, el dia 6 de juliol, va penjar la versió definitiva de la demostració. Que va retirar unes hores després, reconeixent que hi ha via un greu error en el seu teorema 7.3, on aplicava una extensió de la transformació de Fourier a una funció que no ho permetia.

Pels matemàtics masocas, penjo els enllaços a les tres primeres versions de la demostració. A veure si sou capaços de trobar els errors!

Em fa l’efecte que l’any vinent podrem celebrar el 150é aniversari de la Hipòtesi sense que ens hagi estat revelat el secret d’aquest arcà. I la Fundació Clay podrà continuar guardant el seu milió de dòlars que te destinats com a premi a qui ho resolgui, que, els pobres!, fa poc que ja van haver de pagar un altre milió de dòlars a Grigory Perelman per haver demostrat la Conjectura de Poincaré, un altre dels set problemes del milenar que tenien premi.