Sempre he dit que les vacances no són per a descansar, sinó per a cansar-se d’una manera diferent a com ho fem la resta de l’any. Les vacances em serveixen, entre d’altres coses, per a llegir texts que normalment tens arraconats; tan poden ser obres clàssiques de la literatura com assajos que no m’han semblat prou interessants com per llegir-los immediatament, fins i tot algun manual, comprat amb la pretensió d’obtenir informació general d’algun tema i que, després de fullejar-lo, m’he adonat  que no complia amb la finalitat pel que l’havia adquirit.

Un dels llibres que he llegit aquestes vacances és un llibre de Charles L. Dodgson publicat el 1879. Dodgson va ser professor de matemàtiques a Oxford; de matemàtiques elementals, no va ser pas un gran matemàtic com els seus contemporanis britànics de Morgan o Boole. No obstant és més conegut que els seus il·lustres col·legues per les seves obres literàries que va publicar sota el pseudònim de Lewis Carrol.

El llibre que he llegit porta per títol Euclid and his modern rivals, i és un assaig escrit en forma de diàleg entre diferents matemàtics britànics de segon ordre, l’autor i l’esperit de matemàtics clàssics com Euclides, Arquimedes i altres.

És un llibre interessant, sobre tot perquè està ben escrit (probablement Dodgson era millor escriptor que matemàtic) i ple de referències literàries, però és decebedor des del punt de vista matemàtic. Sembla mentida que un matemàtic acadèmic tingués, el 1879, unes idees tan primitives sobre les línies paral·leles: 50 anys després de les publicacions de Bolyai i Lobatxevski, 25 anys després de la conferència de Riemann i només 20 anys abans dels Grundlagen de Hilbert que van donar les bases definitives de la Geometria.

Un altre aspecte que m’ha cridat l’atenció ha estat el de preguntar-me com van poder sorgir matemàtics de la talla de Russell, de Hardy o de Littlewood, amb uns professors de mates tan primitius com Dodgson, que portaven a la pràctica aquella màxima de que la imaginació és un arma molt perillosa, sobre tot en mans dels alumnes. I, a més, si el professor és tartamut…

No he pogut estar-me de traduir alguns fragments del fina (que jo sàpiga l’obra sencera no s’ha traduït ni al català ni al castellà), que certifiquen el que he dit: que era millor escriptor que matemàtic: l’autor més citat (sense dir-ho) és Shakespeare, però també hi ha cites de Coleridge, de cançons tradicionals escoceses, referències a la mitologia clàssica, etc. En fi… un gran tractat de matemàtiques per oblidar. O per recordar… per motius extramatemàtics, clar.

 

ACTE IV

“Els vells amics son el(s) millor(s)”[1]

[Escena: com abans. Moment: el començament del vespre. MINOS [2] adormit amb inquietud, caigut endavant sobre la taula, el front recolzat al tinter. Adreçant-se a ell, entra EUCLIDES de puntetes, seguit dels fantasmes d’Arquímedes, Pitàgores, Aristòtil, Plató, etc, que han vingut per a veure joc net]

& I. Tractament dels Parells de Línies

EUCLIDES: Ha marxat tothom?

MINOS:                                             “Pit i fora!
La festa s’ha acabat, i aquests actors
com us deia, tots eren esperits.
S’han fos en el aire, en l’aire que no es palpa” [3].

EUCLIDES: Bé. Anem a lo nostre. I, en primer lloc, heu trobat algun mètode per tractar les Línies Paral·leles que superi el meu?

MINOS: No! Mil vegades, no! El mètode infinitesimal, tan elegantment utilitzat per Monsieur Legendre, no és apropiat pels principiants; el mètode per transversals no ha estat mai plantejat en forma lògica; el mètode de la “equidistància” és massa engavanyador; i respecte el mètode de la “direcció”, només cal dir que és una corda de sorra – es trenca a peces l’agafis per on l’agafis.

EUCLIDES: Ho podem considerar, doncs, assumpte resolt, ja que no heu trobat motiu suficient per abandonar ni la meva seqüència de proposicions ni la seva numeració; tot el que ens queda ara per considerar és si són desitjables modificacions importants en el meu manual.

MINOS: Certament

EUCLIDES: Heu trobat alguna novetat sorprenent en el tema de la comprovació pràctica de la intersecció de les línies?

MINOS: Hi ha un rival del vostre Axioma 12 [4] que ha de ser formidable pel seu gran nombre d’adeptes – és el usualment conegut com “Axioma de Playfair” [5].

EUCLIDES: Ja hem discutit aquesta qüestió anteriorment (p. 42).

MINOS: Però què heu de dir als que rebutgen tan l’axioma de Playfar com el vostre?

EUCLIDES: Simplement els hi preguntaria quina demostració pràctica proposen de la intersecció de dues línies finites determinades. No només trobaran necessari demostrar, en alguns teoremes, que dues línies finites s’intersecaran si es perllonguen, sinó que també estaran obligats a demostrar-ho de dues línies, de les que la única propietat geomètrica coneguda és precisament la de posseir la propietat enunciada en el meu axioma. Curt i ras, els hi faria la següent pregunta: “Donades dues línies que fan, amb una tercera transversal, dos angles interiors que sumats son inferiors a dos rectes, com proposeu demostrar, sense el meu axioma, que s’intersecaran si es perllonguen?”.

MINOS: Els defensors de la teoria de la “direcció” us respondran, segurament el següent: “Podem demostrar, a partir de la propietat enunciada, que les dues línies tenen direcció diferent; després anirem al nostre axioma de que línies amb direcció diferent s’intersequen”.

EUCLIDES: Tot el que has eliminat satisfactòriament en revisar el manual del senyor Wilson.

MINOS: L’únic altre substitut que jo conec, és referent a la teoria de la equidistància, que substitueix el vostre axioma per tres o quatre de nous i sis teoremes nous. També hem vist raons per a rebutjar aquesta substitució. La meva conclusió general és que el vostre mètode de tractar amb tots aquests temes és el millor de tots els que s’han proposat.

& 7. La síntesi final

EUCLIDES: “El gall es pap, el dia es gralla” [6], i tots els respectables fantasmes han de retornar a casa. Deixa que m’emporti la idea d’haver-te convençut de la importància, sinó necessitat, de mantenir el meu ordre i la meva numeració, i el meu mètode per a tractar les línies rectes, els angles, els angles rectes i (molt especialment) les paral·leles. Deixeu-me tot això sense tocar i jo estaré força content quan es facin altres canvis – quan les meves demostracions siguin abreujades i millorades – quan s’afegeixin demostracions alternatives a les meves – i quan s’interpolin nous problemes i teoremes. En tots aquests aspectes, el meu Manual es capaç d’admetre millores gairebé il·limitades.

[Amb el so d’una música suau, EUCLIDES i els demés fantasmes “s’esvaeixen fortament” [7], d’acord a la direcció escènica aprovada per Shakespeare. MINOS es desperta amb un estel, i se’n va al llit, “un home més trist i més savi” [8].]

 


NOTES DEL TRADUCTOR

[1] No he trobat cap referència literària d’aquesta frase. En qualsevol cas la seva traducció sempre pot ser ambigua: “Old friends are the best”, el predicat tan es pot traduir en singular, “el millor” (de tot), com en plural, “els millors” (de tots els amics).

[2]  No se perquè Dodgson utilitza el nom de MINOS per al personatge principal, ja que la mitologia clàssica no el relaciona amb cap dels temes tractats en el llibre. La única explicació plausible és que tant Virgili (Eneida) com Dante (Divina Comèdia) col·loquen MINOS en posició de jutjar les ànimes dels morts. Tampoc està clar si aquest MINOS jutge, és el mateix mític Rei de Creta o el seu net, del mateix nom.

[3] Fragment de La tempesta (Acte, 4 Escena 1) de William Shakespeare. MINOS s’està referint als diferents matemàtics que han desfilat pel seu despatx, defensant canvis en Els Elements d’Euclides. He fet servir la traducció poètica de Josep Mª de Sagarra. El text original (i complert) de Shakespeare és:

You do look, my son, in a mov’d sort,
As if you were dismay’d: be cheerful, sir:
Our revels now are ended. These our actors,
As I foretold you, were all spirits and
Are melted into air, into thin air:
And, like the baseless fabric of this vision,
The cloud-capp’d towers, the gorgeous palaces,
The solemn temples, the great globe itself,
Yea, all which it inherit, shall dissolve
And, like this insubstantial pageant faded,
Leave not a rack behind. We are such stuff
As dreams are made on, and our little life
Is rounded with a sleep.

[4] Dodgson utilitza durant tot el llibre l’expressió “Axioma 12” per a referir-se al 5è Postulat. No sé de on treu aquesta numeració: els texts més antics dels Elements, procedents de la tradició islàmica, havien posat el 5è Postulat entre els Axiomes, però amb el número 11. Clavius en la seva edició el posa com Axioma 13, tampoc 12.

[5] John Playfair (1748-1819) matemàtic escocès. El 1795 va proposar substituir el Postulat d’Euclides per un altre postulat que s’ha divulgat extensament fins els nostres dies: Per un punt exterior a una recta, es pot construir una sola paral·lela a aquesta recta. Aquest postulat és totalment equivalent al Postulat d’Euclides, en el sentit de que amb el postulat d’Euclides es pot demostrar el de Playfair i amb el de Playfair es pot demostrar el d’Euclides; però sense un d’ells no es pot demostrar cap dels dos.

[6] Fragment de molt difícil traducció, procedent d’una antiquíssima balada escocesa (The wife of Usher’s Well). Els esperits dels fills morts de la dona han vingut a visitar-la, però no poden dormir, no poden menjar i han de retornar al trencar el dia.

[7] Un altra cita de La Tempesta (Acte 4 Escena 1) de Shakespeare: “Enter certain REAPERS, properly habited; they join with the NYMPHS in a graceful dance; towards the end whereof PROSPERO starts suddenly, and speaks, after which, to a strange, hollow, and confused noise, they heavily vanish; curiosa forma de dir que s’esvaeixen ràpidament.

[8] Fragment final de Rima del vell mariner de Samuel T. Coleridge (1772-1834), extens poema publicat el 1798. “He went like one that hath been stunned, / And is of sense forlorn: / A sadder and a wiser man, / He rose the morrow morn.”.