Maig de 1859: Mor el catedràtic de Matemàtiques de la Universitat de Gotinga JPGL Dirichlet.

Juliol de 1859: Per substituir-lo, s’anomena catedràtic a Bernhard Riemann, un hàbil matemàtic de trenta-dos anys en aquell moment.

Uns dies després: Bernhard Riemann és escollit membre de l’Acadèmia de Ciències de Berlín.

Novembre de 1859 (ara fa 150 anys): Riemann envia a l’Acadèmia de Ciències de Berlín un manuscrit de només sis pàgines, com es costum de fer pels nous membres.

Aquest breu manuscrit, publicat en el butlletí de l’Acadèmia del mateix mes de novembre de 1859, s’ha convertit, amb el pas del temps, en un dels enigmes més profunds de la matemàtica de tots els temps.

El títol del manuscrit és: Sobre la quantitat de nombres primers més petits que un nombre donat. En ell, seguint l’estela de Gauss, partint d’una fórmula d’Euler i aplicant els coneixements sobre variables complexes de Dirichlet, Riemann intenta obtenir una funció que aproximi els nombres primers amb més fidelitat que les que havien proposat Gauss i Legendre.

És l’únic article que va publicar Riemann sobre teoria de nombres. D’altra banda, també cal dir que l’obra complerta de Riemann (que va morir el 1866, abans de complir els quaranta anys) és molt breu; molt densa, però molt breu; hi cap en un sol volum, incloent les obres publicades pòstumament pel seu successor a la càtedra, Dedekind.

Comença l’article construint la funció Zeta de s: ζ(s), i analitzant-la en el camp dels complexes. Com que només existeix per a valors majors que la unitat, troba l’extensió apropiada per a tot el camp complexe i busca els zeros d’aquesta extensió (la funció original no en tenia cap).

Els zeros d’una funció li diuen moltes coses als matemàtics: quan una funció té el valor zero, vol dir que es troba amb l’eix d’abscisses i, o és tangent a l’eix, o canvia de signe. Per això, dóna pistes sobre les característiques de la funció. En els casos de variable complexa el tema no és gaire intuïtiu perquè les gràfiques haurien de ser quadridimensionals i no tenim mitjans per a fer reproduccions d’aquesta mena. Però sí que es poden aproximar les ombres de les funcions, que, tot i no ser tan intuïtiu, permet entendre una mica els conceptes desenvolupats.

Recíproca de la funció Zeta. Les punxes representen els zeros.

Després de l’anàlisi, Riemann va arribar a varies conclusions:

  1. La funció era simétrica respecte l’eix.
  2. La funció tenia zeros a –2, -4, -6, -8… És a dir, a tots els nombres parells negatius. A aquests zeros els va denominar zeros trivials: no tenien interés per a el que ell es proposava.
  3. Tots els demés zeros havien d’estar a l’àrea delimitada entre 0 i +1: l’àrea crítica.

I aleshores afirma que tots els zeros es trobaran a la línia ½: la línia crítica. Ho afirma sense demostrar-ho, però al mig de la tercera plana del seu manuscrit diu: Certament, voldria disposar d’una demostració estricta d’això; però he deixat de costat la cerca d’aquesta demostració, després d’alguns intents vans, perquè tampoc és necessària pel següent objectiu de la meva recerca.

Sabia Riemann en quin sidral estava ficant els matemàtics de futures generacions? Suposo que no. Han passat 150 anys i seguim sense tenir una demostració rigorosa de la hipòtesi.

Siegel, l’any 1932, després de remenar els papers que queden de Riemann (la seva criada, en assabentar-se de la seva mort a Itàlia, va llençar bona part dels seus papers a la brossa), va trobar una fórmula que permetia calcular els zeros d’una manera relativament ràpida. Amb una màquina de Turing, a finals del anys cinquantes del segle XX (cent anys més tard) s’havien calculat 1.104 zeros, tots a la línia crítica!

Amb l’arribada dels ordinadors es va poder anar augmentant el nombre de zeros calculats. Això no tenia massa interés si el resultat que donava era ½, però si algú en trobava algun que no donés aquest resultat, bingo!: quedava refutada la hipòtesi. Fins avui s’han calculat els primers 3 bilions de zeros de la funció: tots són a la línia crítica de ½.

Per tant: no cal preocupar-se…

Només cal que sabeu que l’Institut Clay té guardats 1 milió de dòlars per a qui aporti una demostració concluent de la Hipòtesi. Us animeu?

Per celebrar aquest 150é aniversari, l’Institut de Matemàtica de la UB va celebrar dimecres passat la Jornada Riemann.

Jesús Hernández de la UAM ens va parlar d’un recent article de Freeman Dysson (Birds and frogs) en el que classifica els matemàtics entre ocells o gripaus i conclou que ambdues visions són imprescindibles per al desenvolupament de la ciència (no solament de les matemàtiques). Podeu trobar-lo aquí. Us asseguro que val la pena llegir-lo… i no cal saber mates!

Carles Curràs de la UB ens va parlar de l’altre camp en que Riemann va fer aportacions fonamentals: la geometria. La conferència per l’habilitació com a professor a la Universitat de Gotinga que, sorprenentment, el va obligar Gauss a dictar el 1851. El costum era que el postulant presentés tres propostes de conferència: la primera era la que estava més treballada i el tribunal sempre escollia la primera. Però Gauss va escollir la tercera: Sobre les hipòtesis que es troben als fonaments de la geometria. Era tan densa que no la va entendre ningú, excepte potser el propi Gauss. Tant és així que, també contra el costum, no es va publicar fins el 1868, quan Riemann ja era mort!

Jordi Quer de la UPC ens va parlar de l’article de Riemann del que he escrit en aquest apunt. Moltes de les coses que he dit, han sortit d’aquesta conferència.