150é aniversari

Maig de 1859: Mor el catedràtic de Matemàtiques de la Universitat de Gotinga JPGL Dirichlet.

Juliol de 1859: Per substituir-lo, s’anomena catedràtic a Bernhard Riemann, un hàbil matemàtic de trenta-dos anys en aquell moment.

Uns dies després: Bernhard Riemann és escollit membre de l’Acadèmia de Ciències de Berlín.

Novembre de 1859 (ara fa 150 anys): Riemann envia a l’Acadèmia de Ciències de Berlín un manuscrit de només sis pàgines, com es costum de fer pels nous membres.

Aquest breu manuscrit, publicat en el butlletí de l’Acadèmia del mateix mes de novembre de 1859, s’ha convertit, amb el pas del temps, en un dels enigmes més profunds de la matemàtica de tots els temps.

El títol del manuscrit és: Sobre la quantitat de nombres primers més petits que un nombre donat. En ell, seguint l’estela de Gauss, partint d’una fórmula d’Euler i aplicant els coneixements sobre variables complexes de Dirichlet, Riemann intenta obtenir una funció que aproximi els nombres primers amb més fidelitat que les que havien proposat Gauss i Legendre.

És l’únic article que va publicar Riemann sobre teoria de nombres. D’altra banda, també cal dir que l’obra complerta de Riemann (que va morir el 1866, abans de complir els quaranta anys) és molt breu; molt densa, però molt breu; hi cap en un sol volum, incloent les obres publicades pòstumament pel seu successor a la càtedra, Dedekind.

Comença l’article construint la funció Zeta de s: ζ(s), i analitzant-la en el camp dels complexes. Com que només existeix per a valors majors que la unitat, troba l’extensió apropiada per a tot el camp complexe i busca els zeros d’aquesta extensió (la funció original no en tenia cap).

Els zeros d’una funció li diuen moltes coses als matemàtics: quan una funció té el valor zero, vol dir que es troba amb l’eix d’abscisses i, o és tangent a l’eix, o canvia de signe. Per això, dóna pistes sobre les característiques de la funció. En els casos de variable complexa el tema no és gaire intuïtiu perquè les gràfiques haurien de ser quadridimensionals i no tenim mitjans per a fer reproduccions d’aquesta mena. Però sí que es poden aproximar les ombres de les funcions, que, tot i no ser tan intuïtiu, permet entendre una mica els conceptes desenvolupats.

Recíproca de la funció Zeta. Les punxes representen els zeros.

Després de l’anàlisi, Riemann va arribar a varies conclusions:

1. La funció era simétrica respecte l’eix.
2. La funció tenia zeros a –2, -4, -6, -8… És a dir, a tots els nombres parells negatius. A aquests zeros els va denominar zeros trivials: no tenien interés per a el que ell es proposava.
3. Tots els demés zeros havien d’estar a l’àrea delimitada entre 0 i +1: l’àrea crítica.

I aleshores afirma que tots els zeros es trobaran a la línia ½: la línia crítica. Ho afirma sense demostrar-ho, però al mig de la tercera plana del seu manuscrit diu: Certament, voldria disposar d’una demostració estricta d’això; però he deixat de costat la cerca d’aquesta demostració, després d’alguns intents vans, perquè tampoc és necessària pel següent objectiu de la meva recerca.

Sabia Riemann en quin sidral estava ficant els matemàtics de futures generacions? Suposo que no. Han passat 150 anys i seguim sense tenir una demostració rigorosa de la hipòtesi.

Siegel, l’any 1932, després de remenar els papers que queden de Riemann (la seva criada, en assabentar-se de la seva mort a Itàlia, va llençar bona part dels seus papers a la brossa), va trobar una fórmula que permetia calcular els zeros d’una manera relativament ràpida. Amb una màquina de Turing, a finals del anys cinquantes del segle XX (cent anys més tard) s’havien calculat 1.104 zeros, tots a la línia crítica!

Amb l’arribada dels ordinadors es va poder anar augmentant el nombre de zeros calculats. Això no tenia massa interés si el resultat que donava era ½, però si algú en trobava algun que no donés aquest resultat, bingo!: quedava refutada la hipòtesi. Fins avui s’han calculat els primers 3 bilions de zeros de la funció: tots són a la línia crítica de ½.

Per tant: no cal preocupar-se…

Només cal que sabeu que l’Institut Clay té guardats 1 milió de dòlars per a qui aporti una demostració concluent de la Hipòtesi. Us animeu?

Per celebrar aquest 150é aniversari, l’Institut de Matemàtica de la UB va celebrar dimecres passat la Jornada Riemann.

Jesús Hernández de la UAM ens va parlar d’un recent article de Freeman Dysson (Birds and frogs) en el que classifica els matemàtics entre ocells o gripaus i conclou que ambdues visions són imprescindibles per al desenvolupament de la ciència (no solament de les matemàtiques). Podeu trobar-lo aquí. Us asseguro que val la pena llegir-lo… i no cal saber mates!

Carles Curràs de la UB ens va parlar de l’altre camp en que Riemann va fer aportacions fonamentals: la geometria. La conferència per l’habilitació com a professor a la Universitat de Gotinga que, sorprenentment, el va obligar Gauss a dictar el 1851. El costum era que el postulant presentés tres propostes de conferència: la primera era la que estava més treballada i el tribunal sempre escollia la primera. Però Gauss va escollir la tercera: Sobre les hipòtesis que es troben als fonaments de la geometria. Era tan densa que no la va entendre ningú, excepte potser el propi Gauss. Tant és així que, també contra el costum, no es va publicar fins el 1868, quan Riemann ja era mort!

Jordi Quer de la UPC ens va parlar de l’article de Riemann del que he escrit en aquest apunt. Moltes de les coses que he dit, han sortit d’aquesta conferència.

Sinesi

Cada vegada em fa més mandra anar al cinema. No sé si és perquè les sales que hi ha ara (els multicines, els hi diuen) em resulten carregants per la gent i de pantalla petita o perquè cada cop em costa més quedar amb un grup d’amics per anar-hi i poder xerrar després, davant d’un refresc, del que hem vist.

De totes formes no podia deixar passar, sense veure el darrer film d’Amenábar: Àgora. Bàsicament perquè fa referència a una matemàtica il·lustre; no per les seves obres o els seus descobriments, que desconeixem totalment, sinó perquè va ser la primera dona que es va dedicar al conreu d’aquesta disciplina.

Com apassionat de la història de les matemàtiques, em van sobtar dues coses de la pel·lícula. La primera, i més important, va ser veure Hipatia suposant que les òrbites planetàries podien ser el·lipses. La descripció que fa Hipatia de l’el·lipse com a lloc geomètric dels punts del pla, tals que la suma de les seves distàncies a dos altres punts és una constant positiva, és totalment exacte i coincideix amb la que ja havien fet Menenc, Euclides i, sobre tot, Apoloni de Pèrgam (també Pappus, probable mestre de Teó, pare d’Hipatia). Hipatia devia ser una bona coneixedora de l’obra d’aquest darrer, ja que, segons algunes cròniques, va escriure un comentari al llibre “Les còniques” d’Apoloni.

Però d’aquí a convertir a Hipatia en predecessora de Kepler hi ha un salt en el vuit considerable. De fet, alguns historiadors de la ciència consideren que la revolució copernicana s’hauria d’anomenar, més pròpiament, revolució kepleriana, perquè l’autèntica audàcia científica la va proposar Kepler i no pas Copèrnic. Aristarc de Samos, que també és citat a la pel·lícula, ja havia proposat en el segle III aC un model heliocèntric; tractat que Copèrnic coneixia i que, per tant, no resultava ser una novetat. El propi Copèrnic, en no quadrar-li les dades de les observacions astronòmiques amb el seu model, va començar a proposar sistemes excèntrics i epicicles, tal com havia fet Ptolomeu al segle II dC i, per això, diuen, no se l’hauria de considerar un revolucionari, sinó un continuador. L’autentic canvi de paradigma resultaria ser el del model el·líptic de Kepler, que no apareix en cap tradició astronòmica, ni grega ni àrab.

Llevat d’aquesta agosarada anècdota, la segona cosa que m’ha sobtat ha estat l’aparició de Sinesi de Cirene a la pel·lícula. Alexandria havia estat, des de la seva fundació al segle III aC, una capital cultural de primer ordre i, per tant, i això no és gaire diferent avui en dia, un pol d’atracció de joves estudiants brillants de bones famílies (aquí cal llegir: famílies riques). Aquest era el cas de Sinesi, fill d’una rica família comerciant de Cirene (avui en dia a Líbia, uns 800 km. a l’oest d’Alexandria). El jove Sinesi, quan tenia una vintena d’anys, va ser deixeble d’Hipatia, però això va ser l’any 393, quan el Serapió (i el Museo, encara que no se l’esmenta al film) ja havien estat destruïts i clausurats l’any 391. Per tant és fortament improbable que Sinesi fos ni tan sol espectador dels avalots que van conduir a la fi, quasi definitiva, de la tradició grega a Alexandria.

Més sorprenent encara és l’aparició de Sinesi a Alexandria, vint-i-cinc anys més tard, quan es va assassinar a Hipatia. Entre d’altres coses perquè Sinesi ja era mort! Sinesi va morir l’any 413, dos o tres anys abans de l’assassinat d’Hipatia que va ser el març de l’any 415 o 416 (la cronologia no és prou clara en l’any). És més, es conserva la darrera carta que li va escriure a Hipatia abans de morir:

Per a la filòsofa (Hipatia):

Estic dictant aquesta carta des del meu llit, però espero que vostè la rebi en bon estat de salut, mare, germana, mestra i, sobre tot, benefactora, a la que honoro en nom i en obra.

La meva debilitat corporal ha seguit l’estela del meu sofriment mental. El record dels meus difunts nens (els seus tres fills havien mort) consumeix les meves forces, a poc a poc. Només hauria viscut com Sinesi si no hagués experimentat els mals de la vida. És com si un torrent llargament reprimit hagi caigut sobre mi, i com si la dolçor de la vida s’hagués esfumat. Només puc, o bé deixar de viure, o bé deixar de pensar en la tomba dels meus fills!

Espero, no obstant, que vostè conservi la seva salut i voldria donar les meves salutacions als seus feliços companys, començant per Teotecne i el seu germà Atanasi, i així a tots els demés! I si algú s’ha afegit a aquests, que ja sé que que és molt important per a vostè, també li dec gratitud, perquè és molt important per a vostè, i per a que aquest home doni les meves salutacions al meu propi amic més estimat. Si algun dels meus assumptes li interessen, vostè pot disposar-ne, i si d’altres no son tan interessants, tampoc per a mi.

(Carta 16, escrita el 413, poc abans de morir)

De Sinesi de Cirene es conserven moltes obres, entre les quals es troba la seva correspondència que abarca unes 160 cartes escrites entre els anys 394 i 413, que demostren la seva extensa cultura (escrivia les cartes i llibres en un excel·lent grec àtic, però els himnes i poemes els escrivia en un molt bon grec dòric), la seva llibertat de pensament (quan el nomenen bisbe de Ptolemais l’any 409 posa com a condició poder continuar estant casat amb la seva dona) i la seva fidelitat incondicional a Hipatia.

Però Sinesi, no va saber mai la sort de la seva mestre… va morir abans.

És una llàstima que els tres personatges històrics principals de la pel·lícula, Hipatia, Orestes i Sinesi, apareguin pràcticament iguals en la primera part del film, en la que es narra la destrucció del Serapeu (any 391) que en la segona, en la que es narra el fi d’Hipatia (any 415 o 416). Després de vint-i-cinc anys, hom esperaria que Hipatia fos una anciana i que Orestes i Sinesi ja no tinguessin l’aspecte de joves inexperts. Però bé… això ja ho podem acceptar per raons comercials.

Pel demés, res a dir. Una bona pel·lícula que val la pena veure, sobre tot perquè posa damunt la taula el paper que la intransigència religiosa dels cristians va tenir en la destrucció de la cultura occidental.

Cogito

La casualitat ha volgut que mentre aquests darrers dies estava rellegint l’excel·lent edició de La Gèomètrie de Descartes de l’Institut d’Estudis Catalans, prologada i anotada per Josep Pla Carrera i Pelegrí Viader Canals, caigués en un bloc en el que es parlava del conegut cogito ergo sum cartesià.

No se perquè se’m va acudir que, malgrat la celebritat de la frase, no podia ser original de Descartes, ja que, com és sabut, l’il·lustre pensador va escriure el Discours de la Mèthode en francès, per a que el podessin entendre fins i tot les dones (textual). Aquesta darrera afirmació, que avui resultaria políticament incorrecta, no ho era gens en aquell temps: Descartes volia dir que escrivint en francès posava la seva erudició a l’abast de tothom, fins i tot de les dones que no sabien llatí.

La cita literal, doncs, no és cogito ergo sum, sinó je pense, donc je suis.

Els motius pels que s’ha popularitzat la cita llatina m’eren desconeguts, però vaig suposar que devia ser efecte de la traducció llatina que va fer Frans von Schooten. Primer en va publicar una el 1649, però la que va tenir més resó va ser la que va fer en dos volums els anys 1659 i 1661 que, a més de la traducció, incorporava comentaris importants de matemàtics de l’escola de Leyden, la majoria deixebles del propi Schooten com Huygens, Hudde o de Witt. Aquesta segona traducció es va fer molt popular, gairebé més que l’original, i, de fet, és la que van llegir i estudiar tant Leibniz com Newton.

Però aquesta suposició era incorrecta perquè Schooten no va traduir el Discours en la seva totalitat: només va traduir un dels seus apèndix (i quin apèndix!): La Gèomètrie.

És curiós com l’interés per aquesta obra de Descartes s’ha dividit en dues tradicions totalment separades: els filòsofs s’han dedicat a estudiar el Discours sense llegir-ne els apèndixs, mentre els matemàtics s’han dedicat a llegir La Gèomètrie sense interessar-se gaire pel Discours. Els altres dos apèndixs, La Dioptrique i Les Mètheores, val a dir que no son gaire reïxits.

La curiositat, que sempre mata el gat, em va picar. Ja sé que no té cap interés saber perquè s’ha establert a la tradició una cita literal que resulta no ser-ho; però tot i així em feia gràcia saber d’on podia haver sorgit. A més, em sonava a la memòria que algú m’havia comentat que la frase original de Descartes no era una relació causal sinó una mera juxtaposició.

La Gallica de la Biblioteca Nacional de França acostuma a ser un ajut inestimable per a trobar llibres francesos (o d’autors francesos) antics. Te’ls pots baixar en pdf a l’ordinador amb agilitat. Proveït d’aquesta eina, no era difícil buscar el cogito ergo sum de marres.

No està a les Meditacions Filosòfiques de 1641, a on precisament es troba la juxtaposició de la que m’havien parlat.

Però, bingo!, si que l’he trobat als Principis de Filosofia de 1644 en un context idèntic al del Discours.

Ara em queda un altre repte: saber perquè se’ls hi diu a les coordenades, cartesianes, si Descartes no fa mai referència a cap sistema de coordenades.

I ara em dono compte que totes aquestes xorrades se m’estant acudint quan s’apropa el dia de Sant Martí (el 10 de Novembre), el dia que Descartes va tenir els seus famosos tres somnis (1619), el dia que Descartes va obtenir la seva llicenciatura en dret (1616), el dia que Descartes va conèixer Beeckman (1618), una data màgica en la biografia de Descartes.

Thullen

Princeton University Press, 2009.

A la portada del llibre que tinc a les mans, hi ha una còpia d’una tarja d’identificació, emesa pel govern feixista italià, a nom de Peter Thullen. Pel títol del llibre, sembla com si Thullen hagi estat el matemàtic més important dels que van emigrar d’Alemanya durant l’època nazi. Res més lluny de la veritat. Thullen, segurament, hagués arribat a ser un gran matemàtic; la seva tesi doctoral de 1931 sobre teoria de les funcions analítiques de múltiples variables complexes, era tot un presagi.

Però, el 1933, Hitler es va interposar en el seu camí. L’any anterior havia d’haver anat a la Universitat de Roma, amb una beca per a completar estudis, però una operació quirúrgica que havia de ser senzilla, es va complicar fins al punt que va haver de restar a Alemanya fins a la tardor següent. L’octubre de 1933 marxava cap a Roma i, com ell ja suposava, era per no tornar mai més a Alemanya.

Durant el curs 1933-34, mentre estava a Roma va aprofitar per escriure, juntament amb el seu director de tesi, Heinrich Behnke (que va restar a la seva universitat de Münster), un llibre canònic sobre el mateix tema (Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veranderlichen‎), i també un extens article (Zur Theorie der Singularitäten der Funktionen mehrerer komplexen Veränderlichen) juntament amb Henry Cartan, que en unes memòries diu que Thullen va ser un dels seus grans amics. I aquí es va acabar la carrera de matemàtic teòric del senyor Thullen.

El senyor Thullen no era jueu, el senyor Thullen havia estat membre actiu de les joventuts catòliques. Suposo que aquest moviment juvenil devia ser una cosa semblant al que van ser a Espanya les JOAC (Joventuts Obreres d’Acció Catòlica), i aquesta barreja religiosa i social, el portava a enemistar-se amb tot el que significava el nacional socialisme.

En acabar el curs a Roma, va buscar-se una feina, qualsevol feina a qualsevol lloc del món. I va anar a parar a Quito (Equador). Durant més de quinze anys va estar pels països hispans americans establint les bases matemàtiques dels seus sistemes de seguretat social. Moltes d’aquestes nacions, Panamà, Colòmbia, Paraguai, Equador, li deuen els fonaments del seus sistemes de previsió social. Per això també, moltes de les seves obres d’aquest temps (1935-1952) estan escrites en castellà: El régimen de los salarios mínimos en el Paraguay, Sobre la compatibilidad de tasas de morbilidad y de sus componentes, Caja de seguro social de Panamá, Técnicas actuariales de la seguridad social: regímenes de las pensiones de invalidez, de vejez y de sobrevivientes.

L’any 1952 va tornar a Europa: el van anomenar matemàtic en cap de la OIT (Organització Internacional del Treball) i poc després director d’un dels seus departaments. Quan es va jubilar, el 1967 va retornar a l’ensenyament de la matemàtica teòrica a la Universitat de Friburg (Suïssa) com a professor emèrit, fins el 1977; ja tenia setanta anys.

L’any 1988, remenant papers antics que tenia per casa, va trobar una mena de diari personal que va encetar quan Hitler va arribar a la cancelleria del Reich (abril de 1933) i va acabar poc abans del seu viatge cap a Roma (juliol de 1933). Això el va portar a molt tristos records i va decidir ordenar-ho, prologar-ho i anotar-ho per oferir-ho com a regal als seus cinc fills. Tot aquest material va ser publicat en alemany l’any 2000 (quan ell ja era mort) per la revista EXIL – Berendsohn-Forschungsstelle für deutsche Exilliteratur  i ara, en el llibre que tinc a les mans (Apendix 6), s’ha traduït a l’anglès, gràcies al seu fill gran, Jorge Thullen.

Com ell mateix diu a la introducció: “Aquestes anotacions es van fer en un període en el que estava totalment absorbit per la meva recerca matemàtica. Devia tenir una premonició d’alguna cosa inusual, especial, que em va portar a registrar els fets i aconteixements tal com passaven, a vegades de forma fragmentària”. Tampoc pretenen ser un tractat que expliqui els complexes factors històrics que van conduir el seu país a aquella situació; son més aviat reflexions ràpides sobre els fets que passaven, escrites amb espontaneïtat. Però, com ell mateix també diu (i això és important), les seves anotacions son el testimoni que qualsevol que volgués, podia conèixer, es més: coneixia, el suficient sobre el que estava passant. En definitiva, que els Max Aue’s van escollir lliurement ser-ho.

Per davant nostre circulen molts fets coneguts i d’altres menys coneguts: la covardia dels professors universitaris per oposar-se a la bogeria, la dissolució de tots els moviments juvenils (catòlics i protestants, wandervögel i scouts) per integrar-los a les Joventuts Hitlerianes amb el recolzament d’algun dels seus dirigents, les desastroses notícies de la conferència de desarmament, la manipulació de les eleccions a l’església protestant, …

I en un epíleg, escrit el 1988, ens explica la seva situació a Equador, a on hi havia dues comunitats alemanyes perfectament diferenciades: d’una banda, els diplomàtics i industrials partidaris d’Hitler i, d’altra, els exilats. La segona creixia dia a dia, mentre la primera continuava igual o disminuïa; per això van organitzar l’associació dels alemanys lliures. I ell havia trobat un altra activitat creativa i fascinant en la construcció d’un sistema de seguretat social, una cosa que no devia estar massa allunyada dels seus ideals catòlics de joventut. Naturalment va adquirir la nacionalitat equatoriana, encara que algun dels cops d’estat, tan habituals en aquells països, el va fer marxar a Colòmbia, abans del seu retorn a Europa.

Racons de la Història!

Escher

Qui no recorda les escales impossibles d’Escher?

Doncs ara, un “peaso arbañí” ens ha demostrat que no eren tan impossibles:

GP de R

Gilles Personne de Roberval

Ha de ser difícil convertir-se en un matemàtic famós quan tens com a coetanis i paisans a individus com Descartes o Fermat. És el cas de Gilles Personne de Robervall (1602-1675). El seu nom de naixement era Gilles Personne (a vegades també escrit Personnier) i, com que no era de família il·lustre, va haver de demanar permís per a poder afegir el seu lloc de naixement al seu nom. Avui en dia, els pocs que el coneixen, es refereixen a ell com Robervall, tot i que només és el nom del seu poble.

Ell tampoc va fer gran cosa per a ser conegut: mantenia correspondència amb tots els savis de la seva època: Huyghens, Gassendi, Mersenne, Pascal, Hobbes, a més dels ja esmentats, Fermat i Descartes (tot i que amb aquest darrer l’unia una fraternal enemistat). Però només va publicar dues obres durant la seva vida. La primera va ser un tractat de mecànica en el que apareix per primera vegada el mot “força” que després popularitzaria Newton i que és la base de la seva principal invenció: la balança de precisió. La segona és un tractat d’astronomia en el que glosa l’obra d’Aristarc de Samos, el primer teòric del heliocentrisme del qui tenim notícia.

Malgrat el seu origen humil, va poder estudiar gràcies al rector de la parròquia de Rhuis, una població propera, que era, al mateix temps, capellà de la reina Maria de Medici. En una data incerta, va començar a viatjar per tota França; es guanyava la vida donant classes de matemàtiques i es ficava per les universitats per a discutir d’aquesta disciplina amb els professors. Va passar per Bordeus, on va conèixer Pierre de Fermat, i el 1627 estava al setge de La Rochelle juntament amb Descartes. El seu únic biògraf, Auger (Blanchard, 1962), diu que recorria tot el país portant una ampolla de tinta lligada a la sella del seu cavall.

El 1628 s’instal·la a Paris, d’on ja no tornarà a marxar. Va ser professor de Filosofia al Collège de Maître Gervais, i al mateix temps va ocupar les càtedres Ramus (matemàtiques) i Gassendi (física) del Collège Royal. Les males llengües diuen que no publicava res de les seves recerques per poder-les fer servir en els exàmens-opossició que tri-anualment es celebraven per mantenir aquestes càtedres del Collège Royal. El cert és que el 1693, divuit anys després de la seva mort, l’Acadèmie des Sciences de Paris va publicar un voluminós volum amb moltes de les seves obres que, al morir, havia deixat en dipòsit en aquesta institució, de la que, ell mateix, n’havia estat fundador el 1666, juntament amb altres sis savis.

Tenia fama de ser extremadament avar, tant és així que sempre va viure en dues habitacions que li cedia el Collège de Maître Gervais i a les que, a la seva mort, no s’hi va trobar ni tan sols una ampolla de vi. Només llibres: des de Quintilià fins a Descartes. I una forta suma de diners en efectiu: aproximadament l’equivalent de vuit vegades el seu sou anyal.

El seu caràcter tampoc sembla envejable: era irascible (cosa que no el va ajudar gens en les seves males relacions amb Descartes), orgullós e intransigent; no obstant sembla que tenia força èxit amb els seus alumnes: a les seves classes s’arribaven a congregar més d’un centenar d’estudiants.

Les seves aportacions al càlcul integral (Traité des indivisibles) hagueren estat cabdals si les hagués publicat quan les va escriure, però quan van aparèixer, el 1693, ja feia temps que Cavalieri havia publicat el seu tractat homònim. Els seus mètodes per trobar tangents a una corba, tot i ser publicats cinquanta anys després d’haver estat escrits, van ser revolucionaris. Ell va ser el primer en enunciar la llei de composició de forces. Tot això explica perquè Condorcet publica cent anys més tard el seu Eloge de Roberval.

Entre els manuscrits de Roberval que encara resten a l’Acadèmie, es troba una obra titulada Éléments de Géométrie que, al contrari del que es pugui pensar no és una nova edició comentada dels Elements d’Euclides, sinó un llibre per a l’ensenyament de la geometria, estructurada en forma bastant diferent del text euclidià. Aquest manuscrit va ser editat i publicat fa uns anys per Vincent Jullien (Librairie Philosophique Vrin, Paris, 1996) i resulta ser també una obra notable. Sobre tot pel que fa referència a la teoria de les paral·leles: una anticipació del quadrilàter de Lambert (1766, no publicat fins el 1784).

Gilles, Gilles… perquè no vas portar tot això a la impremta?

Tot això m’ha vingut a la memòria perquè ahir vaig veure al diari una notícia titulada “lliçons de geometria” i que em va deixar una mica astorat: no podia creure que els professors de geometria tinguessin aquestes apariències.

EL PAIS - 6 octubre 2009 - Pàg. 42

En Fritz N

No sé per quin motiu deu ser, però darrerament estant sortint molts llibres sobre la Segona Guerra Mundial i el nazisme. Suposo que el fet que ja hagin passat més de 75 anys de la crema dels Reichstag i que ja hagin desaparegut la majoria dels protagonistes d’aquells temps fa que es pugui analitzar l’època d’una forma més objectiva, lliure de les pressions que podrien significar ferir sentiments de gent encara viva. És una mica com el que va fer Chateaubriand en escriure les seves memòries: les anava entregant al seu editor amb la condició que no es publiquessin fins que ell hagués mort (per això les va titular Memòries d’Ultratomba); d’aquesta manera es va sentir lliure per parlar a tort i dret, bé o malament, dels seus contemporanis, sense preocupar-se del que li poguessin respondre: ell ja no hi seria!

En el camp de la història de les matemàtiques també s’està donant el mateix fenomen: si abans de vacances parlava del llibre de Sanford Segal, Mathematicians under the Nazis, fa uns mesos s’ha editat un altre llibre titulat Mathematicians Fleeing from Nazi Germany (Reinhard Siegmund-Schultze, Princeton University Press. July 26, 2009). Mentre el primer és un estudi de la situació dels professors universitaris de matemàtiques durant el període nazi, el segon estudia les migracions d’aquest mateix grup professional, particularment, la migració de matemàtics alemanys cap els Estats Units. De fet, aquest segon, és una revissió i ampliació, traduïda a l’anglés, de la tesi de l’autor de 1998.

És un fet que, mentre el percentatge de jueus entre la població en general a l’alemanya nazi era baix (un 2 o 3%), a les capes universitàries el percentatge creixia i, entre els matemàtics, era especialment gran arribant a un 20% en el cas d’algunes de les universitats més grans com Berlín o Goettingen. Per això, les baixes de professors induïdes per les lleis racials nazis a partir de 1933, van tenir especial rellevància en el camp de les matemàtiques i van fer perdre el primer lloc del que gaudia Alemanya en la disciplina en favor dels Estats Units.

Tampoc es tracta de fer un recompte de guanys i pèrdues, com molt bé afirma Siegmund-Schultze, cosa que seria pec menys que història-ficció, però és ben evident que Alemanya, amb aquesta política es va fer un harakiri intel·lectual important.

Un dels casos que expliquen ambdós autors, i que jo desconeixia, m’ha semblat particularment trist. És el cas de Fritz Noether, germà petit de la gran matemàtica Emma Noether, primera professora universitària alemanya de matemàtiques amb el total recolzament de David Hilbert.

Fritz Noether i la seva germana, Emma, el 1933. Font: Overwolfach Photo Collection

Fritz Noether era un competent especialista en matemàtica aplicada (la que es dedica a resoldre problemes físics, mecànics, etc.) i, per això, menys conegut que la seva germana. L’any 1933, quan es dicten les lleis per a “netejar el servei civil” ell tenia 48 anys. Havia estat combatent a la Primera Guerra Mundial, en la que havia rebut una Creu de Ferro i assolit el lloc de tinent. Per aquests motius, i encara que fos jueu, quedava exclòs de les normes d’aquelles lleis. No obstant, els seus alumnes, en repetides ocasions van presentar queixes al rectorat pel seu ascendent jueu, pel seu “escàs nacionalisme”, pel seu esquerranisme (era soci de l’Associació dels Drets Civils) i d’altres foteses semblants.

Tanta va ser la pressió que va rebre que, finalment, va sol·licitar el seu passi a la situació d’emèrit, una forma de poder conservar la seva pensió al 100%. No obstant, el mateix any 1933, li van oferir una plaça de professor a la Universitat de Tomsk (Unió Soviètica, avui Rússia), que va acceptar de bon grat. Uns anys després, el 1937, les autoritats soviètiques el van acusar d’espionatge en favor d’Alemanya i va ser empresonat. A partir de 1939 no es torna a tenir cap notícia d’ell.

A finals dels anys 80’s, amb la Glasnost d’en Gotbatxev, els seus fills Hermann i Gottfried, aconsegueixen que els obrin els arxius secrets d’aquells temps i s’assabenten que va ser arrestat el novembre de 1937, va ser jutjat per trotskista i espia l’octubre de 1938 i condemnat a 25 anys de presó. Aparentment, totes les probes de càrrec contra ell i els altres quatre russos jutjats al mateix temps, havien estat falsificades; eren els temps dels processos de Moscú.

Va ser empresonat a Orel (uns 200 Km al sud de Moscú). El 1939, quan es va signar el tractat Ribbentrop-Molotov, podria haver estat objecte d’intercanvi de presoners entre Alemanya i la Unió Soviètica, tal com establia el tractat. Però no va poder ser perquè, per un edicte nazi anterior (de 1938), Fritz Noether havia estat desposseït de la seva nacionalitat alemanya: era un apàtrida sense saber-ho.

L’any 1941, quan les tropes nazis envaeixen la Unió Soviètica, a la presó d’Orel es succeïxen una serie de judicis complementaris contra els ja condemnats i empresonats; la finalitat es no haver de portar-los a cap altre lloc, lluny de l’abast de les tropes nazis. El dia 8 de setembre, Fritz Noether es tornat a jutjar i condemnat a mort. El dia 10 es porta a terme l’execució. Els nazis ocuparan Orel el dia 8 d’octubre.

A finals de 1988, el Tribunal Suprem de la URSS, declara que, de fet, Fritz Noether no era culpable de cap crim i el 12 de maig de 1989 Hermann Noether, el seu fill, és oficialment informat de la “plena i completa rehabilitació” del seu pare. Si-us-plau, accepti les meves disculpes més sinceres, encara que comprenc que cap mena de paraules podran alleujar la seva pena.

Fugint dels nazis va caure en mans dels estalinistes.

Un chulo cabrón

Finalment he caigut a la temptació i m’he llegit els dos primers volums del famós Millenium de Stieg Larsson. El tercer el començaré a llegir quan acabi la meva filla, que és qui m’ha prestat els dos volums anteriors. Jo no tenia cap intenció de comprar-los: tinc certa aversió pels best-sellers. Però aquesta vegada el soroll mediàtic ha pogut més que la meva fòbia.

He de reconèixer que aquestes novel·les son addictives. Un cop has entrat en la trama (li costa una mica entrar en matèria al començar), resulta gairebé impossible desempallegar-se’n. L’acció està molt ben travada i el ritme dels aconteixements és creixent, fins arribar a uns finals trepidants que et fan restar sentat, llegint sense parar, encara que es facin les mil-i-una de la nit.

No sé de què pot anar el tercer volum, perquè al acabar el segon sembla que s’hagin desvetllat tots els misteris sobre la vida de la protagonista. Ja ho veurem…

M’ha fet gràcia el joc que es porta en el segon volum amb el darrer teorema de Fermat: no existeix cap n>2 tal que aⁿ + bⁿ = zⁿ, siguen a, b, z i n nombres naturals. Fermat no va formular mai en la seva vida el teorema. Es va trobar després de la seva mort el 1655 escrit al marge del seu exemplar de la Aritmètica de Diofant, amb una coda admirable: he trobat una demostració d’aquest teorema però aquest marge es massa petit per escriure-la.

Els experts suposen que l’anotació va ser feta entorn el 1630, però Fermat no va escriure la demostració a cap altre lloc, o, al menys, no s’ha trobat. Era una broma de Fermat? El cert és que el primer que va demostrar el teorema va ser el matemàtic britànic Andrew John Willes, l’any 1995! La demostració, efectivament, no cabia en el marge d’un llibre: ocupa unes 150 pàgines de matemàtiques tan avançades que Fermat no les podia ni somniar.

Durant 340 anys una legió de matemàtics van estar intentant demostrar el que se suposava que era cert perquè no s’havia trobat mai cap contra exemple, però que no es podia assegurar la seva certitud perquè no se’n tenia cap demostració.

No sé com ho va escriure Larsson en suec ni com ho han traduït al català, però Lisbeth Salander, quan pensa en Fermat, pensa en “un chulo cabrón”. No m’havia parat mai a pensar en Fermat des d’aquest punt de vista. En part té raó Lisbeth: com collons se li va acudir a aquell home escriure allò de tinc una demostració però no l’escric. Xuleria. I, a més, segur que no la tenia o, si la tenia, era incorrecta. Cabroneria. Xulo i cabró.

De totes formes, la Salander encara té certa tendresa en pensar en Fermat: diu que li hagués agradat conèixer’l.

Per cert, no us molesteu en buscar el llibre de matemàtiques que llegeix la Salander. El Dimensions in Mathematics de L.C. Parnault no existeix. La Harvard University Press, presumpta editora del llibre, ja ha emès un comunicat desmentint haver editat mai aquest llibre ni conèixer el seu autor.

N.M. Fabra

El llibre de Sommerville, del que us vaig parlar en un post de fa temps, està sent un pou de sorpreses. A part de trobar autors antics dels que tenia poc o cap coneixement, també estic trobant petites obres estranyes que fan referència a temes col·laterals a les geometries no-euclidianes, però que no deixen de tenir el seu interés. No avorriré al lector amb les troballes matemàtiques per les que suposo que no té cap interés, però si que vull fer referència a una troballa totalment inesperada.

Més de la meitat del llibre de Sommerville és un catàleg cronològic d’obres publicades en el que, any darrera any i per ordre alfabètic d’autor, relaciona les referències bibliogràfiques de cada una d’elles i els assigna un codi temàtic. A la pàgina 71, corresponent al començament de l’any 1884, es pot veure la següent referència: “Fabra, N.M. Por los espacios imaginarios. Madrid: Fé. 10 reales”, a la que Sommerville assigna el codi Q1.

El curiós del cas és que, quan vas a l’Índex Temàtic, el codi Q1 no existeix. Existeixen els codis Q1a (Fonaments de la geometria: sistemes d’axiomes), Q1b (Geometria hiperbòlica), Q1c (Geometria el·líptica), Q1d (Altres geometries) i Q1e (Representacions concretes de geometries no-euclidianes). Però el codi Q1, a seques, no hi és. Aquesta anomalia, afegida al meu desconeixement total que existís un matemàtic espanyol de finals del segle XIX anomenat Fabra, em va picar la curiositat, com en el cas del Zacarías Acosta (de qui ja vaig parlar). Però no ha estat fins aquest estiu que l’he poguda satisfer.

De fet, trobar el nom de l’autor no em va costar gaire: les inicials N.M. corresponen a Nilo Maria. I dona la casualitat que, fa uns pocs anys (el 2006) la Biblioteca del Laberinto, una petita editorial de Madrid, va publicar una antologia d’aquest autor. Es tracta d’un recull de contes fantàstics que l’editor diu de ciència ficció, però que jo més aviat qualificaria de política ficció. No són u-topies, sinó més aviat dia-cronies: contes ubicats en llocs concrets i existents però en temps diferent de l’autor. N’hi ha que són passats contrafàctics i n’hi ha que són futurs imaginaris.

Les comparacions sempre són odioses, però per a fer-nos una idea de la seva literatura, podríem dir que es sembla a la de Jules Verne, amb qui és pràcticament contemporani. No obstant, i donades les inclinacions polítiques del senyor Fabra (va ser diputat i senador), la seva obra té més inclinacions pels fets polítics que pels avenços tecnològics que la de Verne (en aquest sentit podríem dir que és un H.G. Wells conservador). Un altra diferència important és que Fabra escriu contes breus; el més llarg dels que he vist té unes vint-i-cinc pàgines, mentre que Verne escriu novel·les llargues. Però el to, l’estil literari, les ironies i molts altres factors m’han recordat les meves lectures d’adolescent de Verne.

Per la introducció de l’editor, Francisco Arellano, m’he enterat que Nil Maria Fabra va néixer a Blanes el 1843 i va morir a Madrid el 1903, ciutat a la que s’havia traslladat a viure-hi el 1860, amb només 17 anys, i que només va abandonar un breu període de temps que va ser corresponsal de la guerra austro-prussiana. Va ser el fundador de l’agència de notícies Fabra el 1870 i la va dirigir fins a la seva mort en que va ser substituït pel seu fill, el també poeta Nilo Fabra.

Com a curiositat esmentar que la seva agència de notícies va ser l’embrió de l’actual Agència EFE, el nom de la qual no procedeix de Franco, com jo em pensava, sinó que se li va posar perquè va ser el resultat de la fusió de les tres agències que hi havia a Madrid en acabar la guerra civil: la Fabra, la Febus i la Faro (totes tres començaven per F) per a posar-les sota control del nou règim.

I què té a veure aquest periodista amb les matemàtiques? I, concretament, amb les geometries no-euclidianes? Doncs no ho sé. Fins aquest estiu només havia llegit l’antologia de contes que es recull en el llibre que us he comentat. Hi ha coses interessants i, sobre tot, premonitòries. El relat titulat “El desastre de Inglaterra de 1910” és una premonició de la Primera Guerra Mundial, el titulat “La Guerra de España con Estados Unidos” (publicat el 1897, un any abans de l’esclat de la mateixa) és molt evident (només que el seu resultat final és favorable a Espanya), sobre tot perquè el començament de les hostilitats es degut a l’enfonsament d’un vaixell espanyol per part dels americans, el Maine a l’inrevés! També es força curiós el titulat “Cuatro siglos de buen gobierno” en el que juga amb la idea que l’infant Miguel, net dels reis catòlics, hagués estat el seu successor i ens haguéssim estalviat dos-cents anys d’Absburgs i uns altres dos-cents de Borbons i Espanya seria una basa d’oli, interclassista, interracial, tolerant i progressista. Però en cap dels contes que havia llegit hi vaig trobar cap referència, ni tan sols tangencial, a les geometries no-euclidianes.

Els darrers dies he anat a la Biblioteca de la Universitat de Barcelona on hi ha un exemplar de l’edició original del llibre de Fabra que, per cert, està datada el 1885 (i no el 1884 com indica la bibliografia de Sommerville). El títol del llibre (Por los espacios imaginarios) porta un sots-títol: “Con escalas en tierra” i conté quatre contes més no recollits a l’antologia: “La taza de leche”, “El hombre único”, “Dos naciones hermanas” i “La verdad desnuda”; en total unes quaranta pàgines no recollides a l’antologia, en les que tampoc he sabut veure cap referència a les geometries no-euclidianes. El llibre és dels que es troben al fons de reserva i no pots fotocopiar-lo, l’has de llegir davant el bibliotecari, has de deixar el DNI mentre el llegeixes i demés precaucions, que no semblen suficients quan un qualsevol es pot endur mapamundis del segle XVI de la Biblioteca Nacional. De fet ja he comentat en algun altre post que l’únic lloc on em venen ganes de robar és a les biblioteques. Però no us espanteu: no ho he fet mai!

No sé si Sommerville sabia espanyol, si havia llegit el llibre, si el va incloure només pel títol (això dels espais imaginaris sona molt matemàtic) o si realment hi ha en el llibre alguna referència subtil que m’ha passat per alt. I ja no puc preguntar-li perquè va morir fa molts anys.

Així queda demostrat que els llibres de matemàtiques i, sobre tot, els seus autors, també poden fer volar la imaginació. Com a mínim, he de confessar que m’he entretingut molt llegint els contes del senyor Fabra del que he vist que també apareixen a altres antologies de contes fantàstics del segle XIX, com la publicada per Càtedra el 2006 (Cuentos fantàsticos en la España del Realismo) o la publicada per Clan el 2000 (Cuentos futuristas).

Les tres A’s

A d’Àgora

A d’Alexandria

A d’Amenábar

Només arribar de vacances m’he assabentat que properament s’estrenarà una gran superproducció cinematogràfica (jo més aviat diria un pèplum), dirigida per Amenabar, sobre la primera matemàtica muller de la que tenim noticia: Hipatia d’Alexandria.

Com que ja m’imagino que el film estarà ple d’extravagàncies històriques, m’he fet uns petits apunts per a tenir una guia i poder diferenciar els fets històrics contrastats dels deliris amb els que la va vestir la tradició romàntica-il·lustrada.

Què sabem del cert d’Hipatia?

• Que va ser filla de Teó d’Alexandria, matemàtic competent però poc original a qui devem la darrera edició corregida dels Elements d’Euclides i que va ser professor del Museion d’Alexandria.
• Que va ser cruelment assassinada per la turba el març del 415 o 416 dC.
• Que va escriure comentaris del les Còniques d’Apoloni i de l’Aritmètica de Diofant, tot i que cap d’aquests llibres han arribat fins a nosaltres.
• Que va escriure un llibre titulat Canon Astronòmic, possiblement una edició revisada de les Taules Manuals de Ptolomeu, que tampoc ens ha arribat. De fet, no tenim absolutament cap dels seus escrits (si és que els va escriure).

Què podem suposar raonablement de la seva vida?

• Que va col·laborar amb el seu pare, Teó, en la redacció de l’edició dels Elements d’Euclides.
• Que, malgrat tenir deixebles, no va ser professora al Museion; el més probable és que donés les seves classes al seu domicili en grups molt reduïts de deixebles.

Què ignorem totalment d’ella?

• Els motius del seu assassinat. Tot i que la tradició romàntica-il·lustrada (des de Voltaire fins a Leconte de Lisle) la senyalen com a víctima de la intransigència religiosa dels cristians, l’única font antiga que senyala a Ciril, patriarca d’Alexandria, com a responsable de la seva mort, és Damasci el Siríac. Totes les demés fonts antigues (Sinesi de Cirene, els Suda, Sòcrates Escolàstic i Joan de Nikiû) coincideixen en afirmar que va ser víctima dels avalots polítics tan freqüents en aquella zona i aquell temps. Només cal recordar que l’any 391 dC la Biblioteca del Serapeu (successora de la gran Biblioteca d’Alexandria destruïda un segle abans) també havia estat víctima d’aquests avalots. Cal senyalar que en aquesta mateixa data (391) va ser clausurat el Museion.
• La seva data de naixement. Els estudiosos la fixen entre el 350 i el 370 dC. Si fos aquesta darrera, seria un motiu prou sòlid per confirmar que no va ensenyar al Museion: seria impensable, en aquella època, que una dona de només vint-i-un anys fos mestre al Museion. Un comentari a una de les cartes de Sinesi, dona peu a pensar que tenia uns seixanta anys quan va ser assassinada. Això donaria com a data de naixement l’any 355, però si considerem que la data de naixement del seu pare, Teó, està fixada l’any 335, no sembla gaire probable que això sigui cert. En qualsevol cas, ja era una dona d’edat avançada (per l’època) quan va ser assassinada.
• El seu hipotètic matrimoni. Tot i que els Suda són l’única font que la fa esposa d’Isidor el Filòsof, també diuen que va restar verge fins la seva mort. És dubtós doncs que contragués matrimoni i això, juntament amb l’afirmació de la seva bellesa física, és un dels fets que han atiat la flama del mite: la dona intel·ligent, cultivada, guapa, que abandona la vida domèstica per a només refugiar-se en l’estudi i que resulta víctima de la intolerància religiosa.

Si el pintor prerrafaelita C.W. Mitchell va imaginar així a Hipatia, que no poden fer els escriptors? O els cineastes? Font: Wikipedia

Després de totes aquestes precisions històriques, no negaré que la figura d’Hipatia és molt suggeridora. Potser és per això que s’ha anat forjant el mite: a manca de dades històriques, cobrim el personatge de les virtuts que ens interessin per a donar suport a una ideologia. I consti que no em sembla malament: com podria portar la contrària al meu benvolgut Voltaire? Però com que, per començar, ja he vist que a la publicitat del film posen Alexandria Egipte 391 dC, que no és la data de l’assassinat, sinó la de l’expoli de la Biblioteca i el tancament del Museion (l’assassinat va ser el 415 o el 416, en el 391 encara vivia Teó, el seu pare) i també he vist una imatge de l’actriu que la interpreta i que no sembla pas una dona d’edat avançada, com hauria de ser, suposo que al film hi haurà més llegendes que història.

Jo em quedo amb l’Hipatia que tenia al cap: una intel·lectual, dona, que va sofrir un final dissortat per portar una vida orientada al coneixement, una màrtir feminista amb la que tothom ha romancejat de formes diferents fins aconseguir que no sapiguem què és cert i fals. Però, quin és el problema? Probablement, cap. Des d’el punt de vista matemàtic no va ser tan original com perquè ens haguem de plànyer per la pèrdua dels seus escrits; des d’el punt de vista filosòfic, el seu neoplatonisme era menys original que el del seu quasi contemporani Procle; només ens queda, doncs, el mite. I, el millor de tot: el fet que aquest mite comença a convertir-se en realitat i les dones s’incorporen cada cop més a l’àmbit intel·lectual. En aquest sentit, va ser una precursora… molt anticipada.

P.S.

La millor biografia (i potser l’única) que podeu trobar d’Hipatia, és el llibre de Maria Dzielska titulat “Hipatia de Alejandria”. Es va publicar, en anglès el 1996 i traduït al castellà el 2003. L’editorial, suposo que aprofitant la peli, n’ha fet una nova edició aquest any. El llibre té un centenar de pàgines, de les quals la meitat estan dedicades a explicar el que s’ha arribat a dir d’ella sense cap fonament. El que es pot dir pròpiament biografia, no ocupa més d’una trentena de pàgines (cites incloses).